べき乗分布
べき乗分布
フラクタルの物理的な内容は「特徴的なスケールが存在しないこと」である． コッホ曲線などの幾何学的なフラクタル図形は，どのような物差しで 見ても部分と全体が互いに相似であって，それを特徴付ける長さは 存在しない．このことは，自己アフィンフラクタル図形であっても， あるいはマルチフラクタルな分布であっても同様である．
この考えをさらに進めて，特徴的な量や数が存在しないような系に 対して，フラクタルという呼称を用いる場合が少なくない． 一般に，ある物理量Ｘがξに対してＸ〜ξーβのように 振る舞う場合にはＸに関するξの特徴的な大きさが見いだせない． あるいは，ξのスケール変換に対してＸの性質を不変に保つような関数関係 がべき乗関数であるとも言える． この意味で，べき乗則とフラクタルとは同義的に用いられることもある．
自然現象や社会現象を解析すると，しばしばべき乗分布が登場する． 都市毎の人口分布や英単語毎の出現回数など多くの事例について， 順位(ランク)をｋ，それに対応するサイズ(人口や出現回数)をｘとすると， ｘ〜ｋーβのような逆べきの関係がよく成り立つことが知られており， ジップ(Zipf)の法則と呼ばれることがある． サイズがｘとｘ＋ｄｘの間にあるような場合の数を分布関数ρ（ｘ）を使って ρ（ｘ）ｄｘと書くと，ジップ則はサイズ分布関数がべき乗分布
空隙とファットフラクタル
これらの結果得られる集合の測度は０で，フラクタル次元はいずれの場合でも
D=1/2となる.
このように，同一のフラクタル次元であっても点の分布の様子が大きく異
なって見える場合があるが，これを特徴付けるよい指標はないであろうか．
こうした分布の空間的な揺らぎの性質は空隙性(lacunarity)と呼ばれている．
空隙性を特徴付けるためのいくつかの方法が提案されているが，
ここでは分布のモーメント比を利用した方法を紹介しよう．
フラクタルな集合Ｆを含むようなＲnの領域Ｒを考え，
その中でのサイズδのボックスの中の測度μの分布確率を
Ｐ（μ,δ）とする．
以下でそのｎ次モーメントを定義する．
(4-1)
(4-2)
カオスアトラクタの構造などを詳しく解析すると， 測度が0でないような集合で，かつその境界(外周)部分の構造が自己相似性 であるような集合が現れる場合がある． 測度が0でないことから，これはファット・フラクタル(fat fractal)と呼ばれている． ファット・フラクタルに通常のフラクタル次元の定義を適用すると， その次元は空間次元に一致するため，ファットフラクタルを特徴付けるため に以下のようなフラクタル次元が考案されている．
フラクタルな集合Ｓ0⊂Ｒnの周にサイズδのｎ次元 ボックスを加えて集合Ｓδを構成する． サイズδのボックスで，この集合を覆うために必要なボックスの 数をＮδとすると，ボックスで覆われた体積は
について同様な次元
(4-3)
臨界現象とフラクタル
物質が温度などのパラメータによってその秩序(対称性)を突然 変える現象，すなわち相転移は，今世紀に飛躍的に理解が進んだ 物理数学の分野である． そして，フラクタルという用語がよく知られるようになる以前から スケーリングや繰り込みなど，フラクタルと関係の深い概念が 知られていた． 最後に，比較的性質のよく調べられている臨界現象のモデルとして パーコレーション(percolation)を取り上げ，そこに現れる様々な フラクタル性を紹介する．
n次元の格子(例えば立方格子)を与え，そのサイト(あるいはボンド)部分をある 確率ｐで占有する手続きを考えよう． もしｐ≒１ならばサイトは全て連結され，格子全体のネットワークが形成 されるであろう．反対にｐ≒０の場合には，占有されたサイトは殆どなく， 占有されたサイトがあったとしてもその周囲は空のままであろう． このように，空間の点あるいはボンドが確率的に占有される過程を パーコレーション(浸透)と呼ぶ． これは，ランダムな媒質中を液体が浸透する過程や，森林火災が伝搬する 過程を理想化したモデルと考えることができる．
パーコレーション問題では，ｐ＞ｐcで初めて無限大の大きさの 連結されたボンド(またはサイト)のクラスターが出現するような臨界確率 cが存在し， その値は空間次元，ボンドを占有するかサイトを占有するか， 格子の種類などに依存して決まる． あるボンド(あるいはサイト)がその無限大クラスターに属する確率は ｐ＞ｐcにおいて
(4-4)
相転移点ｐc近傍では，あらゆる物理量が異常性を示す．ボンド(サイト) が互いに連結している領域(クラスター)のサイズξは， ξ〜｜ｐーｐc｜ーν のように(ξは相関距離と呼ばれる)，クラスターに含まれる平均的な ボンド(サイト)の数ＳはＳ〜｜ｐーｐc｜ーγのように， いずれも臨界点の近傍でべき乗関数で発散する． ｐcは格子の形状などのモデルの詳細には依存するものの， β，ν，γ などの指数はモデルの詳細に依らないという意味で普遍性(universality)を持つ． 相転移点の近傍での相関距離が発散は，系の特徴的な長さがｐcでは 存在しなくなることを意味する． 事実，ｐcで生じる無限大サイズのクラスターはフラクタルであって， そのフラクタル次元はＤ＝nーβ/νで与えられることが知られている (図)．
フラクタル次元はクラスターの形状を特徴付けるために有力な指標には違い
ないものの，クラスターのさらに詳細な構造や物性を記述するために，いくつか
の異なる「次元」が考案されている．
ユークリッド距離ｒ離れたパーコレーションクラスター上の二点間の，
クラスターに添ったパスの最短の長さを
とすると，
〜rＤmin
なる関係があり，クラスター内部の構造を反映して，Ｄminは
1以外の値を取る．
これは，クラスター内の連結性に関係した次元であると考えることができる．
また，パーコレーションクラスターは，それ自身がフラクタルであるような いくつかの部分集合に分けられることも知られている． 仮想的にクラスターの両端に電極を繋いて電流を流した場合に， 電流が流れる経路にあたる部分をバックボーン(backbone)と言い，電流に 寄与しない部分をダングリング端(dangling end)と言う． バックボーンはクラスターよりも小さなフラクタル次元を持つクラスターの一部で， さらにその中で全体の連結性のかなめになっている(そのボンドを切断す ると電流の迂回路が他に存在しないような)ボンドをレッドボンド(red bond)と呼ぶ． レッドボンドはバックボーンよりもさらに小さなフラクタル次元を持つ． このように，現象によっては，フラクタルな集合の上にさらに意味のある フラクタル部分集合が定義出来る場合がある．
複雑な物質やネットワークを経由するような輸送現象では，しばしば 異常な拡散や応答が見られる． フラクタルなパーコレーションクラスターの上に制限された ランダムウォークを考えよう． 時間ｔが経過した後での，ウォーカーの平均二乗移動距離は
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フラクタルな構造中で励起される振動モードをフラクトン(fracton)と 呼ぶことがある． ｎ次元結晶格子中の振動数ωのフォノンの状態密度ｎ（ω） がｎ（ω）〜ωn-1に従うのに対して，パーコレーション クラスター等のフラクタル構造では
(4-6)