Lecture on Fractals: Fractal and Fractal Dimensions

フラクタル

フラクタル幾何

三陸地方のリアス式海岸やノルウェーのフィヨルドなどの海岸線を 地図の縮尺を変えながら見ても，そこには類似の構造が再帰的に現れる． すなわち，地図上のスケールはこのような海岸線の特徴を表現するためには 役に立たない． 一方で，フラクタル図形の例として知られるコッホ曲線(von Koch curve) は，どこかしらこうした海岸線の特徴をよくとらえているように思われる． von Koch curve 図のように， コッホ曲線は線分のそれぞれの部分を1/3倍の長さの4つの線分で置き換えて いく操作を繰り返すことによって得られる図形で， いたるところ微分不可能で，しかもトポロジカルには曲線のままでありながら， その全長が発散するような，一見常識的ではない性質をもつ．

フラクタル(fractal)はマンデルブロ(B.B.Mandelbrot)の造語で，このように 微分不可能で，解析的な取り扱いには馴染まない図形を語る言葉として， 1970年代以降広く用いられるようになった． そして，海岸線をはじめとする様々な自然の造形と幾何学との 接点が得られるようになったのである． しかしながら，マンデルブロの著作がそうであるように，フラクタルという 用語はかなり広い意味で使われており，幾何学的な概念を越えて， 物理数学の広範な分野と関わりを持つに至っている．

本節以下ではまず，フラクタルの定量的な表現であるフラクタル次元 (fractal dimension)を与えるために，ハウスドルフ測度とハウスドルフ次元 の定義と性質の説明から始め，次いで，その他のフラクタル次元の定義との関連に ついて触れることにしよう．

ハウスドルフ次元(Housdroff-Besicovitch dimension)

ｎ次元ユークリッド空間の部分集合をＵとする． そのときＵの径を

(1-1)
で定義する． あるδ＞０に対して０＜｜Ｕｉ｜≦δを満足するような 加算個の集合｛Ｕｉ｝を使って，集合Ｆを覆いつくす操作を 考えてみよう． Ｆ⊂ ∪iＵｉであるようなとき， ｛Ｕｉ｝はＦのδ-包であると呼ぶ． ある数ｓ＞０について，以下のようなＦの測度を定義してみよう．
(1-2)
すなわち，最大でもδの大きさの径の集合を個数の上限なしに使って， それらの径をｓ乗しながら足し上げた値の下界である． このとき， 集合Ｆのハウスドルフ(--ベシコビッチ)測度は，δ→０の極限
(1-3)
として与えられる．

例えばＦとして線分を考えると，ｓ＜１のときＨsは無限大に， ｓ＞１ではＨsは０になることが容易に示せる． 集合Ｆのハウスドルフ次元ＤH（Ｆ）とは ハウスドルフ測度が０と無限大のちょうど境界になるような ｓの値であって，与えられた集合について唯一定まる:

(1-4)
このように定義されたハウスドルフ次元はいくつかの性質を持つことが示せる:
  1. Ｆ∈Ｒnであるような開集合では Ｈs＝ｎ.
  2. Ｒnで定義された微分可能なｍ次元部分多様体では Ｈs＝ｍ.
  3. Ｅ⊂Ｆならば Ｈs（Ｅ）≦Ｈs（Ｆ）.
  4. ｆをＲnの滑らかな変換(並進，回転，拡大，アフィン変換等) とすると，Ｈs（ｆ（Ｅ））＝Ｈs（Ｆ）.

点のハウスドルフ次元は0，曲線は1，曲面は2，立体では3となり， これらは我々の直感ともよく一致する． つまり通常の線や面のハウスドルフ次元は，そのトポロジカルな次元に等しい． これに対して，

「ハウスドルフ次元がトポロジー次元よりも大きいような点集合」
が通常よく採用されるフラクタルの数学的な定義である． フラクタル集合のハウスドルフ次元は非整数値(実数値)を取り得る．

さらに，ハウスドルフ次元には以下のような性質があることが知られている．

  1. フラクタル集合の射影
    ｎ次元空間中のフラクタル集合Ｆを，ｋ次元の(超)平面に射影する とき，もしＤH（Ｆ）≦ｋならば，射影のフラクタル次元は，殆どの 場合，Ｆの次元に等しい． もし ＤH（Ｆ）＞ｋならば，射影集合の次元は殆どの場合ｋである．
  2. フラクタル集合の直積
    集合ＥとＦの直積のハウスドルフ次元については
    (1-5)
    が成り立ち，多くの場合は等号が成立する．
  3. フラクタルな共通集合
    二つのフラクタル集合ＥとＦを与え， Ｆの合同変換(移動や回転)をσ（Ｆ）と表記する． このとき， σを様々に変えながら，Ｒn$内でのＥとσ（Ｆ）の``交差''部分 を調べると，交差部分のフラクタル次元は，殆どのσについて
    (1-6)
    を満足する．

その定義から点集合Ｆのスケールをλ倍に変換した際に，それに 対応するハウスドルフ測度はλs倍にスケールされる． すなわち，λＦ＝｛λｘ：ｘ∈Ｆ｝に対して

(1-7)
が恒等的に成立する． ハウスドルフ測度は集合の「拡張された体積」であるから，上式を
(1-8)
のように変形すると，ハウスドルフ次元は空間スケールの変化率λに 対する体積変化率の対数比に関係した量であることが直感される． このことは，以下の節で述べる相似次元やボックス次元などに全て共通した 性質である．

では，よく知られたフラクタル図形であるコッホ曲線のハウスドルフ次元を はどのような値を取るのであろうか． コッホ曲線の生成規則によれば，第ｋ番目の反復では３-kの長さの 線分が４k本生成される． このことから，直径δ＝３-kの円でコッホ曲線を覆うために必要な 円の数が４kであることは容易に推察できるから

(1-9)
δ→０，すなわちｋ→∽の場合にこの値が発散から０に転じる ようなｓはlog ４/log ３であって，事実コッホ曲線のハウスドルフ次元も この値に等しい． ただし，ハウスドルフ測度と次元の数学的に厳密な評価は一般には面倒である．

相似次元(similarity dimension)

集合Ｆそれ自身のサイズを縮小して得られる 集合の(互いに重なりのない)和集合が，再びＦに一致するような集合を 自己相似(self-similar)であると言う． Ｆ全体を構成するために必要な部分集合の数をＮ，縮尺率をｒ（＜１） とすると，相似次元ＤSは

(1-10)
で定義され，自己相似な図形ではＤS＝ＤHである．

コッホ曲線は，縮尺率１／３であるような互いに重ならない４つの部品 から全体を構成できるから，相似次元は ＤS＝ - log 4/log (1/3) = log 4/log 3 である． この例のように，簡単な生成規則が与えられたフラクタル図形については 相似次元の導出は容易である．

ボックス次元(box dimension)

集合Ｆを大きさδの箱(ボックス)で覆うために必要 なボックスの個数をＮδ（Ｆ）とすると，ボックス次元は

(1-11)
で定義される． ここでボックスを，仮に半径δの球に選んでも，あるいは一辺δの 立方体に選んでも，次元の値はこうしたボックスの形には依らない． さらに，Ｎδ（Ｆ）として， のいずれを採用してもよい． (任意の集合についてこれらが同一のＤBを与える保証はないが， 自己相似な集合については問題ない)．

ボックス次元とハウスドルフ次元との間には

(1-12)
なる関係があり，一般には異なる値を持つが，自己相似な集合では等号が成立する．

フラクタル次元の測定方法

幾何学的なフラクタル図形の場合は，相似次元やボックス次元を 直接計算することによってフラクタル次元を求めることができるが， 実験やコンピュータ・シミュレーションで得られたデータのフラクタル次元を 求める際には，いくつかのより実際的な手法が使われている．

ボックスカウント法

ボックス次元はボックスの選び方に敏感ではないため，実際的な次元の 測定に際しても適用度が大きい． 海岸線のように複雑な曲線のフラクタル次元を測る際によく使われる デバイダ法は，歩幅δを様々に変えながら，曲線上の端から 端までを歩くために必要な歩数Ｎδを調べ，これらの両対数 プロットの勾配

(1-13)
からフラクタル次元を求める．これはボックスとして互いに重ならない円 (球)を採用した場合に相当する． Box-counting method 実験の解析等で多用されるのは，碁盤の目のように，空間を等間隔δの 格子状の領域に分割し，図形の一部が含まれるようなボックスの 数Ｎδから上と同様に次元を推定する方法である (図参照)．

一般にボックスカウント法では，ボックスの選び方(図形と ボックスの位置関係)によって得られる次元の値にばらつきが生じることが多い． そのため，データによっては，ボックスの位置を幾通りも変えるなどして Ｎδの見積もりの誤差を減らすための工夫が必要である． 例えば，コッホ曲線の画像データからフラクタル次元を数値的に求める手順を 想定してみよう． コッホ曲線は長さスケール１／３毎に同じ構造が再帰的に現れるため，ボックスの 取り方によっては，δの両対数プロットはlog ３の周期で振動 しているように見えるであろう． これは，空隙性(4節)の大きな集合で特に顕著である． このような場合は，δの変化の範囲を十分広く取り， log Ｎδ−log δプロットの全体的な勾配から次元を推定 しなければならない．

相関関数による方法

ｎ次元空間内の密度分布ρ(x)に対して相関関数Ｃ（ｒ）を

(1-14)
で定義する． ここで〈 … 〉は，ｘ（∈Ｒn）での平均である．

分布がスケール不変(フラクタル)であるとは，スケール変換率をλ とすると

(1-15)
がいたるところで満足されることにほかならない． ここでＡはフラクタル次元に関係した定数である． このような関係を満たすＣ（ｒ）は一般にべき乗関数 Ｃ（ｒ）〜ｒ-A であって，
(1-16)
は分布の相関次元(correlation dimension)を与える．

サイズ$\delta$の球内での分布の総量は，空間次元が$n$であることに注意すると，

となる． もし分布に極端な偏りが無ければ， 全空間にわたる分布の総量をＭとすると， サイズδのボックスでこの分布を覆うために必要なボックスの数は Ｍ／Ｍδ程度と見積もれる． よって，ボックス次元の定義から Ｍ／Ｍδ〜δＤB が得られ，指数の比較によってＤC＝ＤBが得られる． ただし，分布が後節で述べるマルチフラクタルである場合には， 相関次元はボックス次元に一致しない．

散乱実験などでは，波動の性質から密度相関のフーリエ成分がデータとして 得られる． フラクタルな分布では上記のように相関関数が距離のべき乗関数になるため， 相関関数のフーリエ変換であるパワースペクトルもまた波数に対して べき乗関数となる．すなわち，等方性を仮定すれば，

(1-17)
よって，パワースペクトルの波数依存性を両対数プロットするとその 勾配はーＤCとなる． この方法は画像データからフラクタル次元を計算する際にも有用である． 二値化した画素データのパワースペクトルを高速フーリエ変換によって計算し， 波数空間で動径方向に平均されたスペクトル強度Ｓ（｜ｋ｜）を求めれば， 上式の関係から高速に図形のフラクタル次元(相関次元)が得られる．

測定対象が点集合である場合は，積分された二点相関を直接計算する方法が よく用いられる． Ｒn中の点集合を｛Ｘi｝(i=1…N)とし，二点間の距離を ｜ＸiーＸj｜で表記すると， 積分された相関関数は

(1-18)
で与えらえる．ここでθはヘビサイト関数である． 相関次元の定義から Ｃδ〜Ｍδ〜δＤc， よってこれよりＤCが求められる． 一般に実験やシミュレーション等で得られるデータ点の数は限られているため， Ｃδが妥当な見積もりを与えるδの範囲は mink,l｜Xk - Xl｜ ＜ δ ＜ maxk,l｜Xk - Xl｜ であることに注意を払わねばならない．

相似なアンサンブルによる方法

長さＬの線分から開始して，コッホ曲線を生成した場合に，得られた曲線の 唯一の特徴的な長さはＬであって，Ｌよりも小さなスケールでは自己相似な 構造が繰り返される． 様々な長さＬiから生成したコッホ曲線が多数個存在する場合に， それぞれの コッホ曲線の「断片」は自己相似であると同時に，互いにも相似な図形と言える． ある固定されたサイズδ（《Ｌi）のボックスでＬiの 曲線を覆うに必要なボックスの数を Ｎδ（Ｌi）とすると，

(1-19)
は，実はボックスカウント法で(ボックスの大きさを変えることによって)得られる 次元に他ならない． こうして，特徴的なサイズ(自己相似である長さスケールの上限)が異なるものの， それ以下のスケールでは互いに相似な図形の集合については，ミクロな長さ δを変化させる代わりに，マクロな長さＬの図形の「体積」ないし 「質量」Ｍ（Ｌ）を測定することによってフラクタル次元を求めることができる．

特徴的なサイズＬの決め方としては，図形の最大の差しわたしの長さや， 回転半径(gyration radius)を採用する場合が多い． 図形を構成する点の座標を｛ｘi｝(i=1 … N)とすると， 回転半径Ｌgは

(1-20)
で求められる．ここで ｘgは重心座標 ｘg＝（１／Ｎ）Σiｘi である．

回転半径と図形の質量(体積)の関係からフラクタル次元を計算する方法は， 高分子の構造や自己相似に成長するパターンの研究ではしばしば用いられる． 例えば，理想高分子鎖のモデルであるランダムウォークは，歩数(モノマーの数) Ｎと平均的な鎖の長さξ（Ｎ）との間にξ〜Ｎ1/2なる関係が 成立するが，このことは理想高分子鎖のフラクタル次元が2であることを意味する．

境界がフラクタルであるような領域については，特徴的な長さを領域の面積 ないし体積で評価することもできる． 境界が複雑に入り組む「島」が多数点在する場合には，島の面積をＡi とすると， それぞれの島の特徴的な長さはＬi〜Ａi1/2 である． このとき，島の周囲をある一定サイズδのボックスで覆うために必要 なボックスの個数Ｎδは

(1-21)
のように変化するため，様々な面積ＡiBが推定できる． 同様に，体積がＶiの三次元状の物体では Ｎδ（Ｖi）〜ＶiＤB／３ この方法で，例えば，雲の外周のフラクタル次元などが計測されている．

目次に戻る
© Yoshinori Hayakawa (1998)