フラクタル分布の一般化次元
フラクタル分布の一般化次元
Ｒnの有界な領域上で定義された測度 μ（ｘ）＞０ （ｘ∈Ｘ⊂Ｒn） を考えよう． ただし，μ（Ｘ）＝１とする． このとき，μのサポートＸそれ自体がフラクタル集合であっても構わない． Ｘを覆うサイズδのボックスの集合｛Ｂi｝上の測度を μ（Ｂi）と表記し，全てのボックスに渡る以下の総和を定義する．
(3-1)
このＺδ（ｑ）によって，分布のｑ次モーメントに関係したフラクタル 次元
(3-2)
事実，Ｚδ（０）が集合Ｘを覆うために必要な箱の数に他ならないことに 注意すると， limδ→０ - logＺδ(0)／logδ， すなわちＤ（０）はμのサポートのボックス次元を与える．
また，Ｄ（１）は，ｑ→１の極限を取ることによって
(3-3)
自己相似図形ではＤ（ｑ）がｑに依らず一定となるが， μがさらに複雑な構造を持つ場合にはＤ（ｑ）がｑに依存する． このようなμはマルチフラクタル(multi-fractal)と呼ばれ， Ｄ（ｑ）はｑの単調減少関数となる．
ｆーαスペクトル
マルチフラクタルな集合は，以下で述べるように，異なるフラクタル次元が 分布しているような集合とみなすことができる． まず，測度の局所的な特異性を表わす指標として ０＜α＜∞であるような指数αを導入する． ここで，ボックスのサイズδ=｜Ｂi｜について局所的なスケーリング
(3-4)
(3-5)
δ→０では，この積分の値は指数部分が最大となるようなα での寄与が支配的になると考えられるため，
(3-6)
(3-7)
(3-8)
ここで，ｆ,αの微分可能性と，ｆ（α）が αの凸関数であることを仮定する． ｆ（α）ーｑαが極大となる条件から
(3-9)
(3-10)
また，τ（ｑ）＝ｆ（α(q)）ーｑα(q)をｑで微分して
(3-11)
これらの一連の変換は分配関数Ｚ（ｑ）から，ヘルムホルツの自由エネルギー τ（ｑ）を求め，ルジャンドル変換によって内部エネルギーαと エントロピーｆに変数変換する統計力学の手続きそのものである． 一般に分布(測度)の局所的なスケーリング関係(3-4) から出発してｆ（α）を求めるのは困難であるので， τ（ｑ）を経て上記の手順によってｆ（α(q)）を求めることが多い．
ｆのα依存性はｆーαスペクトルと呼ばれており，カオス アトラクタの構造のような複雑な確率分布を特徴付ける際に使われる． ｆーαスペクトルの一般的特徴を以下にまとめる(図を参照).