亀場でプログラミング：タートル・グラフィックス

１. 亀で描く基本的な図形

「直進と後退」、「回転」、そして「ペンダウン」、「ペンアップ」の組み合わせだけで、どれくらいマシな図形が描けるものだろうか。 そこでまず、「原点(0,0)を中心とし、半径rの円に内接する正N角形」から始めてみよう。

正N角形

二辺の長さがrで、その間の角度が$\theta = 2\pi/N$であるような二等辺三角形を考えると、いま考えている正N角形の１辺の長さは、その二等辺三角形のもうひとつの辺の長さ（$s$としよう）に等しいことは明らか。そこで、ちょっと考えれば $$s = 2 r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ である（余弦定理を使うまでもない・・・）。

こうして、長さsだけ前進する度に、角度 $\theta = 2 \pi/N$だけ決まった方向に回転し、再びsだけ前進、をN回繰り返せば、正N角形を描くことができるはずだ。

　練習：正五角形の描画

原点（ウィンドウの中央）を中心とし、r=100 の正5角形を描くプログラムを作り、動作を確認しなさい。

　ヒント

上の説明では、角度は弧度法（ラジアン）を使った。一方、タートルグラフィックスでは度数法（°）を用いる。aラジアンの角度を度数法に変換するには、180.0*a/M_PIとすればよい（M_PIは円周率を表す）。

関数RST();を呼び出した後、亀は原点(0,0)で右向きの状態にある。それを5角形の辺の上に移動させて（角度も整えて）から描画を開始しないと、ウィンドウ上での位置がずれてしまう。

念のために、ひな形を示しておく：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include "turtle.h"
main( )
{
     int n,i ;
     float s,dt ;

     CON("localhost") ;
     CLR() ;
     RST() ;
     COL(1.0,1.0,0.0) ; /* 描画色を黄色に変更する例 */
     ・・・
     for (n=0; n<5; n=n+1) {
     　・・・
     }
     ・・・
}

円

正N角形のNを大きくすれば、それは円になる。一方、十分Nが大きければ、$\theta$は小さい数になるから、正弦関数を0の周りでテイラー展開して $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} + \cdots$$ sの式に代入すると、 $$s = r \,\theta$$ となる（要するに、三角形の辺の長さを円弧のそれで近似しただけ）。

こうして、三角関数を用いなくても円が描画できることが解った。

　練習：円の描画

原点（ウィンドウの中央）を中心とし、r=100 の円を描画するプログラムを作りなさい。プログラム中で三角関数は使わないこと。

　解説　

亀が$\Delta s$だけ進む間に（弧度法で）角度$\Delta \theta$だけ回転したとすると、その比率$\frac{\Delta \theta}{\Delta s}$ を曲線の曲率（curvature)と呼ぶ。 この定義を使えば、「円は曲率が一定であるような曲線」と言い換えることができる。 曲率を$\kappa$とすると、その逆数$1/\kappa$は、曲線のその部分にちょうどフィットする円の半径に相当しており、曲率半径と呼ぶ。 上の式を思い出すと、円の曲率半径は確かに $\frac{\Delta s}{\Delta \theta} = r$ となっている。

一般の曲線は場所毎に曲率が異なる。言い換えると、進んだ距離に応じて回転角を調整することで、さまざまな種類の曲線を描くことができるわけだ。

　発展：対数螺旋

対数螺旋(logarithmic spiral)は、生物の形態などとも関係して、色々な文脈で現れる曲線である。 対数螺旋を極座標 $(r,\theta)$ で表現すると、２つのパラメータ $a,b$ を使って $$ r = a e^{b \theta} $$ となる ( $x(\theta) = a e^{b\theta} \cos\theta$, $y(\theta) = a e^{b \theta} \sin \theta$ )。

対数螺旋の曲率を道のりの関数として求め、それを用いて、亀場に対数螺旋を描いてみなさい。

　ヒント

描き始めの角度が $\theta_0$ だったとすると、ぐるぐる回って $\theta$ に至るまでの道のりは $$ s(\theta) = \int_{\theta_0}^\theta \sqrt{\left(\frac{dx(\theta)}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy(\theta)}{d\theta}\right)^2} \,\,d\theta = \frac{a\sqrt{1+b^2}}{b}\left(e^{b\theta} - e^{b\theta_0} \right) $$

この式から、曲率 $\frac{d \theta}{d s}$ を歩いた距離($s$)の関数として求め、$s$ に応じて向きを調整すればよい。

　発展：８の字

亀が進む毎に回転角を変化させなければならない例として、横に寝た８の字（∞の記号）を描いてみよう。 下図のように亀に８の字を描いて歩かせ、（できるだけ）元の位置に戻ってくるようプログラムしなさい。

その際、きちんと戻って来たか確かめるために、出発地点を基準(0,0)とした場合、終点の相対座標がどうなっているのかを、printf()関数を使ってプリントすること。

　ヒント

例えばあなたが自転車に乗って８文字走行する場合、ハンドルをどのように切ればよいか、想像してみよう。 ハンドルの切れ角が$\Delta \theta$に比例すると考えればよさそうだ （右にハンドルを切ると$\Delta \theta$はマイナス、左だとプラス）。

図で亀のいる位置から上方向に出発したとしよう。 すると、あなたは最初に右にハンドルを切った状態からはじめて、中央のクロスしているところで、今度は 左にハンドルの向きを変え、そのままターンして、再び中央にさしかかったら、今度はハンドルを右に戻す。 そしてしばらく走ると、元の場所（図の亀の位置）に戻ってくるはずだ。

そんなハンドルの切り方をさせる一案として、 ８の字を一周するのに$N$ステップを要するとすると（いつも歩幅は等しいと仮定すれば）、$k$ステップ目の ハンドルの角度を $$ \Delta \theta(k) = -A \cos( 2\,\pi\,k\,/\,N ) $$ とすれば良さそうな気がする。ただし、ここで$A$はある正の数。

$A$の求め方は高校レベルの数学をちょっと越えるので、 ガッツのある諸君のために、別のページにアウトラインだけ紹介しておいた。 その答えは $$ A = 2.40482 \times 360\, / \,N \;\; \textrm{[degree]} $$ となる。

２. 反復を使って描くことができるさまざまな図形

比較的単純な操作のみで描くことができる図形の例を示したので、是非挑戦してみてほしい。

また、ネットで 〔turtle graphics example〕をキーワードに画像検索してみると、さまざまな面白い例が見つかるはずだ。

スパイラル

蜘蛛の巣状の六角形

重なった六角形

六角形のチェイン

六角格子