暦と日付の計算（詳細編）
以下に進む前に、まず、 教材の暦と日付けについての基本編の内容を理解しておくこと。
基準日からの日数とその逆算
ここでは、西暦0年当時からグレゴリオ歴がずっと使われてきたと仮定して話しを進めているので、 右式は「実際の西暦0月3月1日」（当時はユリウス歴）からの日数とは異なる。
暦の基準（原点）となる日を、西暦0年3月1日に設定した場合、それから西暦 $y$ 年 $m$ 月 $d$ 日までの日数は、 $$ D(y,m,d) = 365 y + \lfloor y/4 \rfloor - \lfloor y/100 \rfloor + \lfloor y/400 \rfloor + \lfloor (153 m - 457)/5 \rfloor + (d-1) $$ と表すことができた。ただし、この式を使う場合、1月と2月の場合のみ、$m$ を（前年の）13, 14 と置かねばならなかった。
では、上記の基準日から $D$ 日だけ経過したら、それは何年何月何日にあたるのだろうか。 これは、例えば、「誕生日から1000日後は何月何日？」を知る際に必要となる計算である。
西暦0年から何年経過したか
基準日から $D$ 日経過した日は、何年目のサイクルにあたるかを求めるには、上記の日数を求める式が
2月末までの日数（きっちりy年分の日数） + 3月1日からの日数
という形をしていたことをまず思い出す。$D$ 日目は、$y$ 年目から $y+1$ 年目の間に無ければならないから、$y$ を求めるには不等式
不等式 (1)
$$ 365 y + \lfloor y/4 \rfloor - \lfloor y/100 \rfloor + \lfloor y/400 \rfloor \le D \lt 365 (y+1) + \lfloor (y+1)/4 \rfloor - \lfloor (y+1)/100 \rfloor + \lfloor (y+1)/400 \rfloor $$ を満たすような整数値 $y$ を探せば良い。 ここで、「切り捨て操作」について成り立つ関係 $$ -\lfloor x \rfloor = \lfloor -x \rfloor ,\\ x - 1 \lt \lfloor x \rfloor \le x $$ を使うと、 $$ 365 y + y/4 - y/100 + y/400 - 3 \lt D \lt 365 (y+1) + (y+1)/4 - (y+1)/100 + (y+1)/400 $$ すなわち、$y$の必要条件として、 $$ 365.2425 y - 3 \lt D \lt 365.2425 (y+1) $$ が得られる。そうすると、$y$は、少なくとも、 $$ \frac{D}{365.2425} - 1 \lt y \lt \frac{D+3}{365.2425} $$ の範囲の整数であることがわかる。この不等式が与える$y$の範囲を考えると、この範囲にある整数はたかだか2つなので、 結局、以下のようにすれば$y$を一意に決めることができる：
(i) $y \leftarrow \lfloor \frac{D+3}{365.2425} \rfloor$ を仮の $y$ とおく
(ii) $y$が不等式(1)を満たす場合はその $y$、そうでなければ $y-1$ を改めて $y$ とおく
3月1日からの日数
こうして、基準日から $D$ 日目が、年数にして $y$ 年目にあたることがわかると、その年の3月1日からの日数（すなわち「残り」の日数）は $$ R = D - \left( 365 y + \lfloor y/4 \rfloor - \lfloor y/100 \rfloor + \lfloor y/400 \rfloor \right) $$ となる。 では、3月1日から $R$ 日目は何月何日になるのだろうか？
ここでは、3月1日は0日目、と勘定している。
3月1日から各月のはじまりまでの日数を順に並べると、 $$ 0, 31, 61, 92, 122, 153, 184, 214, 245, 275, 306, 337 $$ となるから、対応する月を知るには、$R$ がどの区間に入っているかを調べればよいことになる。 例えば、$R=123$ ならば、$122 \le R \lt 153$ なので、7月、といった具合である。 $R$から月を換算する（効率の悪い）アルゴリズムを、C言語風に書くと、以下のようになるだろう：
int tab[] = {0, 31, 61, 92, 122, 153, 184, 214, 245, 275, 306, 337, 366} ;
for (i=0 ; i<=11 ; i=i+1) {
if (tab[i] <= R && R < tab[i+1]) break ;
}
m = i + 3 ;
その日が何月かまでわかったら、 $$ S = D - \left( 365 y + \lfloor y/4 \rfloor - \lfloor y/100 \rfloor + \lfloor y/400 \rfloor + \lfloor (153 m - 457)/5 \rfloor \right) $$ が、その月のはじめから何日目かを表すことになる（$m$月1日の場合は $S=0$）。つまり、$d \leftarrow S+1$。
最後に、$m=13, 14$の場合のみ、$m=1, 2$ および $y \leftarrow y+1$ と読み替えれば、通常の日付けが得られる。
3月1日からの日数を返す関数の設計
これまでの説明で、各年の基点となる3月1日から$m$月1日までに日数を（怪しい式） $\lfloor (153 m - 457)/5 \rfloor$ とおいてきたが、 何故これで大丈夫なのだろうか。
基点から日数の並びは $$ 0, 31, 61, 92, 122, 153, 184, 214, 245, 275, 306, 337 $$ であったが、1ヶ月の日数を30日+αと考えて（αは0か1）、αの部分だけの増分を見ると、この数値の列は $$ 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7 $$ となる。$m$ との対応が分かりやすいようグラフに描くと以下のとおりである（赤丸がデータ点）。
右のグラフを見ると、（2月を除いて）各月の長さは１年間を「できるだけ均等に」分割するように考えられていることがわかる。
ここで直線 $(3m-7)/5$ を引くと、$m=4, 9, 14$ の値はぴったりデータ点を通り、それ以外の点は、全て直線の下側に位置することがわかる。 しかも、直線と赤丸は、縦方向に1以上は離れていない。 つまり、$(3m-7)/5$ の小数点以下を切り捨てると（つまり $\lfloor (3m-7)/5 \rfloor$ は）、どの月でも赤丸の値に一致する（たとえば、グラフの $m=5$ のところを参照）。
上の議論は、各月の30日からの「お釣り」についてのものだったから、3月1日からの日数は $$ \lfloor (3m-7)/5 \rfloor + 30 (m-3) $$ となるが、あとから加えた分は整数なので（小数点以下を持たないので）、「切り捨て」の中に入れてしまっても、結果に影響しない。 式を整理すると $$ \lfloor (153m-457)/5 \rfloor $$ が得られる。
上記はひとつの例に過ぎず、たとえば、赤点の下側すれすれを通る直線を引いて、その値を切り上げることでも、別バージョンの関数がすぐ作れそうだ。 $m=0, \cdots, 14$ の範囲に限れば、同じ結果が得られる式のパターンは他にも沢山あるに違いない。 例えば、日本語版のWikipediaには $$ \left\lfloor \frac{306 (m+1)}{10} \right\rfloor - 122 $$ という式が紹介されている。